Matemática

Desde el punto de vista de TdC, las matemáticas son un área del conocimiento bastante especial. Por un lado, parecen ofrecer una certeza que a menudo falta en otras disciplinas. Por otra parte, sus métodos (por ejemplo, la aplicación de procesos lógicos estrictos a principios fundamentales que se supone son evidentes por sí mismos) parecen indicar que se trata de una disciplina alejada del mundo real. Por ello, no sorprende encontrar una variedad de respuestas a los conocimientos matemáticos: desde admiración por la belleza de un argumento matemático, hasta el asombro frente al poder de las matemáticas para resolver problemas en las ciencias o la ingeniería, o la frustración frente a símbolos aparentemente sin sentido, manipulados como si se tratara de un juego en vano.

Lo que es indiscutible es la capacidad de las matemáticas de producir conocimientos importantes sobre el mundo, a menudo en conexión con otras áreas del conocimiento. La razón del éxito de las matemáticas en este aspecto depende de una serie de cuestiones acerca de su naturaleza misma, y su relación con el mundo y con la inteligencia humana. Algunos matemáticos argumentan que su disciplina es un lenguaje, que es en cierto sentido universal o que se puede encontrar una gran belleza en ella. Lo que está claro, en cualquier caso, es que se trata de un área de exploración rica para el alumno de TdC.

Naturaleza de las matemáticas

• ¿Por qué algunos matemáticos y alumnos de matemáticas consideran que las matemáticas, en cierto sentido, “están ahí” y hay que descubrirlas? • ¿Qué significa afirmar que las matemáticas pueden considerarse como un juego formal que carece de significado intrínseco? Si esto es así, ¿cómo pueden las matemáticas tener semejante riqueza de aplicaciones en el mundo real? • ¿Qué significa decir que las matemáticas son un sistema axiomático? • Algunos sistemas educativos hacen una distinción entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas. ¿Refleja esto una diferencia fundamental en la aproximación al conocimiento matemático? • Se dice a veces que el razonamiento matemático es un proceso de deducción lógica. Si esto es verdad, y si la conclusión de una prueba siempre debe estar implícita (contenida) en sus premisas, ¿cómo puede jamás haber conocimientos matemáticos nuevos?

Las matemáticas y el mundo

• Podemos utilizar las matemáticas eficazmente para modelar procesos del mundo real. ¿Esto se debe a que creamos las matemáticas para que nos den una imagen del mundo, o a que el mundo es intrínsecamente matemático? • Algunos adelantos importantes en la física (por ejemplo, el descubrimiento de partículas elementales) son el resultado de argumentos acerca de la belleza, la elegancia o la simetría de los conceptos matemáticos subyacentes. ¿Qué nos dice esto sobre la relación entre las ciencias naturales, las matemáticas y el mundo natural? • ¿Las matemáticas se definen mejor por su método o por su objeto de estudio? • A la luz de las preguntas anteriores, ¿las matemáticas han sido inventadas o descubiertas? • Los matemáticos se maravillan ante las profundas conexiones que existen entre ramas muy dispares de su disciplina. ¿Constituye esto una prueba de que existe una realidad matemática simple subyacente?

Las matemáticas y las afirmaciones de conocimiento

<span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Qué entienden los matemáticos por prueba matemática, y cómo se diferencia ésta de las “buenas razones” en otras áreas del conocimiento? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Qué papel desempeñan las pruebas empíricas y el razonamiento inductivo al establecer una afirmación matemática? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Son todas las afirmaciones matemáticas o verdaderas o falsas? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Puede una afirmación matemática ser verdadera antes de ser probada? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• Durante la verificación de hipótesis, un estadístico puede afirmar que un resultado es cierto con un nivel de significación del 5%. ¿Qué significa esto? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• Se ha argumentado que llegamos a aprehender el número 3 mediante ejemplos tales como tres naranjas o tres tazas. ¿Confirma esto la existencia independiente del número 3 y, por extensión, de los números en general? Si es así, ¿qué sucede con los números como el 0, el -1, i (la raíz cuadrada de -1) y un trillón? Si no es así, ¿en qué sentido se puede decir que los números existen? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• A la luz de la pregunta anterior, ¿por qué podría decirse que las matemáticas realizan afirmaciones verdaderas sobre objetos que no existen? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿En qué sentido la teoría del caos (sistemas dinámicos no lineales) podría sugerir que existe un límite en la aplicabilidad de las matemáticas al mundo real?

<span style="display: block; font-family: Impact,Charcoal,sans-serif; font-size: 170%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">Las matemáticas y el actor del conocimiento

<span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Es posible calificar a las matemáticas de lenguaje universal? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿En qué medida son las matemáticas un producto de la interacción social humana? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Cuál es el papel de la comunidad matemática en determinar la validez de una prueba matemática? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Por qué diferentes culturas otorgan un valor diferente a las matemáticas? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Cómo explicaría las siguientes características, que parecen ser propias de las matemáticas especialmente? Algunas personas las aprenden muy fácilmente y superan con creces a sus compañeros de la misma edad; a otros, en cambio, les resulta casi imposible aprenderlas, a pesar de lo mucho que se esfuercen; por otra parte, se considera que la mayoría de los matemáticos sobresalientes producen sus mejores resultados antes de alcanzar los treinta años de edad. <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Qué cuenta como comprensión en matemáticas? ¿Basta con hallar la respuesta correcta a un problema matemático para decir que uno entiende las matemáticas en cuestión? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Hay aspectos de las matemáticas que podamos elegir si creerlos o no? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Cómo elegimos los axiomas subyacentes a las matemáticas? ¿Es un acto de fe? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Los términos “belleza” o “elegancia” tienen un papel en el pensamiento matemático? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Existe una correlación entre la habilidad matemática y la inteligencia? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Existe una distinción clara entre ser bueno o malo en matemáticas? <span style="font-family: 'Palatino Linotype','Book Antiqua',Palatino,serif; font-size: 140%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">• ¿Cómo se han visto afectadas la naturaleza y la práctica de las matemáticas por las innovaciones tecnológicas, tales como los adelantos en informática?

<span style="display: block; font-family: Impact,Charcoal,sans-serif; font-size: 150%; text-align: right;">Volver a TdC versión en español <span style="display: block; font-family: Impact,Charcoal,sans-serif; font-size: 150%; text-align: right;">Volver a Áreas de conocimiento

<span style="font-family: 'Courier New',Courier,monospace; font-size: 110%;">NOTA: Las preguntas de esta sección corresponden a las que figuran en la Guía en español de TdC del BI, págs. 23 a 25.